사분위수 범위, 상자그림 읽기

사분위수 범위는 무엇을 보여 줄까요?

평균만으로는 자료가 어디에 모여 있는지, 일부 큰 값이 전체 인상을 얼마나 바꾸는지 파악하기 어렵습니다. 자료를 작은 값부터 정렬하면 제1사분위수(Q1)는 아래쪽 25% 부근, 중앙값(Q2)은 50% 부근, 제3사분위수(Q3)는 75% 부근의 위치를 나타냅니다. Q3에서 Q1을 뺀 값이 사분위수 범위이며, 영어 약자로 IQR이라고 씁니다.

IQR은 전체 자료가 펼쳐진 폭이 아니라 가운데 50%가 놓인 구간의 폭입니다. IQR이 작으면 일반적인 값들이 비교적 좁게 모였고, 크면 가운데 절반도 넓게 흩어졌다고 볼 수 있습니다. 최댓값에서 최솟값을 뺀 전체 범위와 달리 양 끝의 극단적인 값에 상대적으로 덜 흔들린다는 점도 중요합니다. 집값이나 배송시간처럼 간혹 매우 큰 값이 생기는 자료에서 중앙값과 IQR을 함께 제시하는 이유입니다.

다만 IQR이 작다고 해서 자료 전체에 극단값이 없다는 뜻은 아닙니다. 상자 안쪽은 조밀하지만 상자 밖으로 멀리 떨어진 값이 존재할 수 있습니다. 통계는 공식의 답만 구하는 일이 아니라, 숫자가 요약한 부분과 감춘 부분을 함께 판단하는 도구라는 관점이 필요합니다.

배송시간 12개로 어떻게 계산할까요?

배송시간 12개를 분 단위로 정렬했다고 가정하겠습니다. 값은 18, 20, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 30, 32, 36, 41입니다. 자료 수가 짝수이므로 중앙값은 여섯 번째 값 25와 일곱 번째 값 27의 평균인 26분입니다. 정렬하지 않은 원자료에서 가운데 자리를 찾으면 순서상의 위치일 뿐 통계적인 중앙 위치가 아니므로, 계산 전에 반드시 오름차순으로 배열해야 합니다.

다섯 수치	계산에 사용한 값	결과
최솟값	첫 번째 관측값	18분
제1사분위수(Q1)	아래쪽 6개에서 21과 23의 평균	22분
중앙값(Q2)	전체에서 25와 27의 평균	26분
제3사분위수(Q3)	위쪽 6개에서 30과 32의 평균	31분
최댓값	열두 번째 관측값	41분

아래쪽 여섯 값의 중앙은 21과 23 사이이므로 Q1은 22분입니다. 위쪽 여섯 값의 중앙은 30과 32 사이여서 Q3은 31분입니다. 따라서 IQR은 31-22=9분입니다. 정렬된 자료의 가운데 여섯 값인 23, 24, 25, 27, 28, 30이 22분과 31분 사이에 놓인다는 점을 확인하면 ‘가운데 절반의 폭’이라는 뜻도 자연스럽게 연결됩니다.

사분위수 계산값은 교과서나 통계 프로그램에 따라 조금 달라질 수 있습니다. 자료 수가 홀수일 때 전체 중앙값을 아래쪽·위쪽 묶음에 포함하는지, 사분위수 위치가 두 관측값 사이일 때 어떤 보간법을 적용하는지에 여러 정의가 있기 때문입니다. R의 공식 문서도 분위수 계산에 여러 유형이 있음을 구분해 설명합니다. 서로 다른 프로그램의 결과를 비교할 때는 어느 한쪽이 틀렸다고 단정하기보다 사용한 계산 유형과 기본 설정이 같은지 확인해야 합니다.

다섯 수치로 상자그림을 어떻게 그릴까요?

이 자료를 가로형 상자그림으로 옮기는 장면을 생각해 보겠습니다. 수평축에 배송시간을 표시한 뒤 22분과 31분에 상자의 양쪽 경계를 긋고, 26분에 중앙값 선을 넣습니다. 이어 18분과 41분에 수염 끝을 표시하고 상자에서 각각 연결합니다. 이렇게 그리면 상자의 길이는 IQR 9분이 되고, 가운데 절반이 놓인 구간과 양쪽 꼬리가 한 화면에 드러납니다. 세로형으로 그려도 최솟값-Q1-중앙값-Q3-최댓값의 순서는 같습니다.

수염이 언제나 최솟값과 최댓값까지 이어지는 것은 아닙니다. 단순한 방식에서는 두 극값을 수염 끝으로 삼지만, 널리 쓰이는 방식에서는 Q1-1.5×IQR보다 작거나 Q3+1.5×IQR보다 큰 관측값을 잠재적 이상값으로 따로 표시합니다. 수염은 그 경계 안에 있는 가장 바깥쪽 실제 관측값까지만 연결합니다. 이 규칙은 탐색적 자료 분석에서 상자그림을 작성할 때 흔히 쓰이며, NIST의 통계 지침에서도 상자그림과 사분위수 간 범위를 이용한 구성을 확인할 수 있습니다.

예시의 아래쪽 경계는 22-1.5×9=8.5분, 위쪽 경계는 31+1.5×9=44.5분입니다. 모든 관측값이 8.5분에서 44.5분 사이에 있으므로 별도로 표시할 잠재적 이상값은 없습니다. 이 방식에서도 수염 끝은 기준값 8.5와 44.5가 아니라, 기준 안에 있는 실제 관측값 18과 41입니다.

상자의 위치와 수염 길이는 어떻게 해석할까요?

상자 안에서 Q1부터 중앙값까지는 4분, 중앙값부터 Q3까지는 5분입니다. 두 구간에는 각각 대략 25%의 자료가 들어가지만 길이가 같을 필요는 없습니다. 위쪽 수염은 31분에서 41분까지 10분이고 아래쪽 수염은 22분에서 18분까지 4분입니다. 큰 배송시간 쪽 꼬리가 더 길다는 비대칭의 단서는 읽을 수 있습니다.

그렇다고 12개 관측값만으로 배송시간의 확률분포나 지연 원인을 확정할 수는 없습니다. 긴 수염은 값이 넓게 펼쳐진 구간을 뜻할 뿐, 그 구간에 관측값이 더 많다는 뜻도 아닙니다. 정확한 밀집 위치가 필요하다면 원자료나 점도표, 히스토그램을 함께 살펴야 합니다.

두 집단을 비교할 때는 중앙값, IQR, 수염, 상자 밖의 점을 같은 순서로 읽는 편이 좋습니다. 중앙값이 같더라도 IQR이 큰 집단은 일반적인 사례의 변동 폭이 더 큽니다. IQR은 작지만 상자 밖의 점이 반복된다면 평소에는 안정적이어도 드문 지연이 발생하는 자료일 수 있습니다. 단위, 조사 기간, 평일·주말 포함 여부, 결측값 처리, 표본 수도 같거나 비교 가능한지 확인해야 차이를 배송업체나 집단 특성으로 잘못 돌리지 않습니다.

이상값과 계산 결과를 판단할 때 무엇을 주의할까요?

1.5×IQR 경계 밖의 점은 ‘오류’가 아니라 확인이 필요한 후보입니다. 실제 배송 지연일 수도 있고, 입력 실수나 서로 다른 배송 조건이 섞인 결과일 수도 있습니다. 원자료와 수집 과정을 확인하기 전에 자동으로 삭제하면 드물지만 중요한 현상을 없앨 수 있습니다. 상자그림은 삭제 결정을 대신하는 판정표가 아니라 추가 조사가 필요한 위치를 알려 주는 요약 도구입니다.

결과를 공유할 때는 사분위수 계산 방식과 수염 규칙을 짧게 밝혀 두는 것이 좋습니다. 예를 들어 ‘자료를 양분한 뒤 각 절반의 중앙값으로 Q1과 Q3를 계산했으며, 수염은 1.5×IQR 경계 안의 마지막 관측값까지 표시했다’고 적으면 다른 사람이 같은 결과를 재현하기 쉽습니다. 프로그램을 사용했다면 프로그램명과 분위수 계산 유형도 덧붙일 수 있습니다.

정의와 규칙을 확인할 자료

사분위수와 상자그림의 기본 구조는 미국 국립표준기술연구소(NIST) 통계 핸드북의 상자그림 설명에서 확인할 수 있습니다. 계산 방식에 따라 분위수가 달라지는 이유는 R 공식 quantile 문서가 여러 계산 유형과 보간 방식을 구분해 보여 줍니다. 실제 상자그림의 수염과 1.5×IQR 규칙은 R 공식 boxplot.stats 문서를 함께 참고할 수 있습니다.